EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU: UMA CONDIÇÃO INTERESSANTE!

Em uma sociedade tecnológica na qual vivemos, a matemática é uma ferramenta útil para o desenvolvimento de novas tecnologias, tais como, programas de computador usados na engenharia, na medicina, entre outros setores. E certas situações cotidianas podem ser expressas por sentenças matemáticas a fim de facilitar a compreensão do comportamento das variáveis ou fatos, na situação estudada.

Uma equação é uma igualdade matemática entre expressões algébricas (é uma expressão matemática que combina números, letras, (variáveis) e operações (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.)) envolvendo incógnitas (valores desconhecidos, podendo ser representadas por letras como X, Y, Z). Resolver uma equação é encontrar os valores desconhecidos que tornam a igualdade proposta verdadeira.

Entre tantas equações estudadas na matemática, estamos particularmente interessados na equação do segundo grau. A equação do segundo grau ou equação quadrática é uma equação algébrica escrita na forma geral ax² + bx + c = 0, com a, b, c são chamados de coeficientes reais (com a ≠ 0) e x sendo a variável ou valor desconhecido.

O termo x² define o grau da equação como sendo dois. Entre tantas particularidades da equação do segundo grau, estamos interessados neste texto, na equação do segundo grau ou equação quadrática que satisfaz a hipótese a + b + c = 0.

Nossa tese é expressar a solução (raízes), desta equação do segundo grau com a condição a + b + c = 0, em função dos coeficientes reais a, b, c, se possível, especificamente,

onde x₁ e x₂ são as soluções ou raízes da equação do segundo grau proposta.

Do estudo de equação de segundo grau temos que, as raízes são expressas por

com Δ = b² – 4ac, e a, b, c sendo os coeficientes reais da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

De fato, podemos inicialmente trabalhar, algebricamente, com a condição a + b + c = 0, isto é,

a + b + c = 0

a + b = - c

Para começarmos, segue que, ax² + bx + c = 0, e dividindo esta expressão por a, sendo a ≠ 0, temos

E reescrevendo, isolando os termos que contém x, para completarmos os quadrados, teremos,

(I)

com M sendo o termo necessário para completar os quadrados. Assim,

e comparando os termos em x, podemos escrever

Assim, a expressão em x, poderá ser escrita como

(II)

De (II) em (I), vem que:

(I)

(II)

e isolando o quadrado da soma, segue que,

reescrevendo esta expressão, teremos

o numerador desta fração é um quadrado da soma de b e 2a , isto é,

desse modo,

e isolando o termo x, vemos que,

e calculando a outra raiz, vem que,

mas, a + b = - c

E a solução da equação do segundo grau ou equação quadrática dada por ax² + bx + c = 0 com a condição de a + b + c = 0 é expressa por

Por exemplo, considere as equações do segundo grau dadas por  

e

Na equação

os coeficientes reais são a=1, b=-2, c=1, e somando a + b + c = 1 - 2 + 1 = 0, logo, como satisfaz a condição inicial, então as raízes serão

e

ou seja,

Na equação

os coeficientes reais são a = 2, b = 5, c = -7, e somando a + b + c = 2 + 5 - 7 = 0, logo, como satisfaz a condição inicial, então as raízes serão

ou seja,

Dado exposto, ao nos depararmos com equações do segundo grau ou equações quadráticas, que satisfaçam a condição a + b + c = 0, a busca pela solução da equação proposta fica simplificada, apenas calculando as raízes

de modo que

Esta condição pode facilitar a busca pela solução de equações do segundo grau ou equações quadráticas que expressam situações cotidianas, nos diversos ramos da ciência, como Física, Química, Engenharia etc.

Assim, como reflexão proposta, podemos pesquisar situações-problemas que induzem ou expressam momentos do cotidiano por equações do segundo grau ou equações quadráticas, satisfazendo a condição interessante a + b + c = 0.